Question

23、如圖，將兩張長(zhǎng)為8，寬為2的矩形紙條交叉放置．
（1）求證：重疊部分的圖形是菱形；
（2）求重疊部分圖形的周長(zhǎng)的最大值和最小值．
（要求畫圖﹑推理﹑計(jì)算）

Answer 1

分析：（1）首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形．
（2）畫出圖形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)勾股定理求出周長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵兩條紙條寬度相同（對(duì)邊平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF，
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時(shí)，菱形周長(zhǎng)最大，設(shè)這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為xcm，
由勾股定理：x²=（8-x）²+2²，
得：4x=17，
即菱形的最大周長(zhǎng)為17cm．
當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時(shí)，即是正方形時(shí)取得最小值為：2×4=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值及菱形的性質(zhì)，難度較大，解答關(guān)鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長(zhǎng)最大和最小，然后根據(jù)圖形列方程．