Question

如圖，△ABC是等邊三角形，⊙O過(guò)點(diǎn)B，C，且與BA，CA的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)D，E，弦DF∥AC，EF的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：△BEF是等邊三角形；
（2）若BA=4，CG=2，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形，得到∠BCA=∠BAC=60°，再根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BFE=∠BCA=60°．根據(jù)兩條平行弦所夾的弧相等證明弧DE=弧CF，從而得到∠EBD=∠CBF，∠EBF=∠ABC=60°，從而證明結(jié)論；
（2）結(jié)合等邊三角形的邊相等，盡量能夠把已知的線段和未知的線段放到兩個(gè)相似三角形中，進(jìn)行求解．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°
又∵∠BFE=∠BCA=60°，
∴△BEF是等邊三角形．

（2）解：∵∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠FBG=∠ABE，
又∠BFG=∠BAE=120°，
∴△BFG∽△BAE，
∴

BF

BA

=

BG

BE

，
又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，
∴BF²=AB•BG=24，
可得BF=2

6

（舍去負(fù)值）．

點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用圓周角定理、兩條平行弦所夾的弧相等的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定．