Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB．

(1)直接寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) （0，﹣3）；(2) y=x2+x﹣3；(3) 四邊形ABCD面積的最大值為13.5．

【解析】

（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB，且點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)已知了B點(diǎn)坐標(biāo),易求得OB、OC的長(zhǎng),進(jìn)而可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線中,求出待定系數(shù)的值,即可得出拋物線的解析式.
(3)根據(jù)A、C的坐標(biāo),易求得直線AC的解析式.由于AB、OC都是定值,則△ABC的面積不變,若四邊形ABCD面積最大,則△ADC的面積最大;可過(guò)D作x軸的垂線,交AC于M,x軸于N;易得△ADC的面積是DM與OA積的一半,可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo),分別代入直線AC和拋物線的解析式中,即可求出DM的長(zhǎng),進(jìn)而可得出四邊形ABCD的面積與N點(diǎn)橫坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的最大面積.

(1)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB，

∴OB=1，OC=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

(2)將B（1，0）、C（0，﹣3）代入y=ax2+3ax+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3．

(3)過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，如圖所示．

當(dāng)y=0時(shí)，有x2+x﹣3=0，

解得：x1=﹣4，x2=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），

∴AB=5．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，x2+x﹣3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣ t﹣3），

∴ED=﹣t﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣t2﹣3t，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△AED+S△CED，

=ABOC+EDAF+EDCG，

=ABOC+EDAO，

=×5×3+×4（﹣t2﹣3t），

=﹣t2﹣6t+=﹣（t+2）2+．

∵﹣＜0，

∴當(dāng)t=﹣2時(shí)，四邊形ABCD的面積取最大值，最大值為．

答：四邊形ABCD面積的最大值為．