Question

【題目】如圖所示，已知AB是的直徑，直線L與相切于點C，，CD交AB于E，直線L，垂足為F，BF交于C．

圖中哪條線段與AE相等？試證明你的結論；

若，，求AB的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)20.

【解析】

（1）觀察圖象知：只有FG的長度與AE相當，可猜想AE=FG，然后著手證明它們相等；求簡單的線段相等，通常是證線段所在的三角形全等，那么本題需要構造全等三角形，連接AC、CG，然后證△AEC≌△GCF；連接BD，由于弧AC=弧AD，那么BA⊥CD，根據(jù)垂徑定理知∠D=∠BCE；由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB，那么它們的余角也相等，即∠FBC=∠EBC，那么弧CG=弧AC，即AC=CG，再由角平分線的性質得CF=CE，根據(jù)HL即可判定所求的兩個三角形全等，由此得證．

（2）由弦切角定理知∠FCG=∠FBC，它們的正弦值也相等，即可在Rt△FCG中，求得CG的長，也就得到了AC的長，在Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理即可得到AB的長．

解：（1）FG=AE，理由如下：

連接CG、AC、BD；

∵，

∴BA⊥CD，

∴ ，即∠D=∠BCD；

∵直線L切⊙O于C，

∴∠BCF=∠D=∠BCD，

∴∠FBC=∠ABC，

∴，CE=CF；

∴AC=CG；

△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，

∴Rt△AEC≌Rt△GCF，則AE=FG．

（2）∵FC切⊙O于C，

∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF=；

在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=4；

∴AC=CG=4；

在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：

AC2=AEAB，即AB=AC2÷AE=20．