Question

【題目】閱讀下列材料，然后解決問題：和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用，截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或將某條線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質等有關知識來解決數學問題．

（1）如圖1，在△ABC中，若 AB＝12，AC＝8，求 BC邊上的中線AD的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使 DE＝AD，再連接 BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關系即可判斷中線 AD的取值范圍是_______.

問題解決：

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC，CD上的兩點，且∠EAF＝∠BAD，求證：BE+DF＝EF．

問題拓展：

（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，點D是△ABC 外角平分線上一點，DE⊥AC交 CA延長線于點E，F是 AC上一點，且DF＝DB．

求證：AC﹣AE＝AF．

Answer 1

【答案】（1）2＜AD＜10；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）延長 AD 到點 E 使 DE＝AD，連接 BE，證明△ADC≌△EDB，根據全等三角形的性質得到 BE＝AC，根據三角形三邊關系計算；

（2）延長 CB 到 G，使 BG＝DF，證明△ABG≌△ADF，根據全等三角形的性質得到 AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，證明△AEG≌△AEF，根據全等三角形的性質證明；

（3）作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，分別證明 Rt△DEF≌Rt△DHB，

△DAF≌△DRB，根據全等三角形的性質證明．

解：（1）延長 AD 到點E使 DE＝AD，連接 BE，

在△ADC 和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝8，

AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即21﹣8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

故答案為：2＜AD＜10；

（2）證明：延長 CB 到 G，使 BG＝DF，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，

∴∠ADC＝∠ABG，

在△ABG 和△ADF 中，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，

∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝ ∠BAD，

∴∠GAE＝∠FAE，

在△AEG 和△AEF 中，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴EF＝GE，

∴EF＝BE+BG＝BE+DF；

（3）證明：作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，

∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC，

∵點 D 是△ABC 外角平分線上一點，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE＝DH，AH＝AE，

在 Rt△DEF 和 Rt△DHB 中，

∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）

∴∠DFA＝∠DBA，

在△DAF 和△DRB 中，

∴△DAF≌△DRB（SAS）

∴DA＝DR，

∴AH＝HR＝AE＝ AR，

∵AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE

∴AC﹣AE＝AF．