Question

如圖1，矩形OABC的頂點A、B在拋物線y=x²+bx-3上，OC在x上，且OA=3，OC=2．
（1）求拋物線的解析式及拋物線的對稱軸．
（2）如圖2，邊長為a的正方形ABCD的邊CD在x軸上，A、B兩點在拋物線上，請用含a的代數(shù)式表示點B的坐標(biāo)，并求出正方形邊長a的值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=3，OC=2，B在第四象限，
∴點B的坐標(biāo)為（2，-3），
把B點代入y=x²+bx-3，得2²+2b-3=-3，
解得：b=-2，
∴y=x²-2x-3；
對稱軸：，即直線：x=1．

（2）由（1）得OM=1，
由拋物線的對稱性，可得：CM=，
又∵BC=a，
∴點B的坐標(biāo)為（a+1，-a），
把B點代入函數(shù)得：（a+1）²-2（a+1）-3=-a，
解得：a₁=-2-2＜0（舍去），a₂=2-2，
故邊長．
綜上可得點B的坐標(biāo)為（a+1，-a），正方形邊長a=2-2．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得出點B的坐標(biāo)，將點B的坐標(biāo)代入拋物線y=x²+bx-3可得出b的值，繼而得出拋物線的解析式及拋物線的對稱軸；
（2）由（1）中求得的解析式，可得出對稱軸，從而可得OM=1，CM=a，BC=a，得出點B的坐標(biāo)后代入拋物線解析式，可得a的值．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用，難度一般．