Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)G以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)至點(diǎn)B，以G為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△EFG，使得GE∥AD，GF∥AB，且GE=6．
（1）線段BD的長度是________；
（2）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，求出矩形ABCD與△EFG重疊面積S與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系式及其自變量取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∵AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD===20，
故答案為：20．

（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，
∵EG∥AD，
∴△BEG∽△BAD，
∴，
∴，
解得t=10，
∴當(dāng)0≤t≤10時(shí)，
S=，
②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴，
∴，
解得t=12.5，
∴當(dāng)10＜t≤12.5時(shí)，
S=18-=，
③如圖，當(dāng)點(diǎn)E、F均在矩形ABCD外側(cè)，
且EF與BD有交點(diǎn)時(shí)，
∵EG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，
∴，
∵FG∥CD，
∴△BKG∽△BCD，
∴，
∴，
令MG=x，則GK=6-x，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)12.5＜t≤（當(dāng)t=時(shí)，EF過B點(diǎn)）時(shí)，
S=，
=，
④當(dāng)EF與BD沒有交點(diǎn)時(shí)，
即＜t≤20時(shí)，
S=GM•GK==，
答：矩形ABCD與△EFG重疊面積S與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系式是s=18（0≤t≤10）或s=（10＜t≤12.5）或
S=（12.5＜t≤）或S=（＜t≤20）．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A=90°，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）有4種情況①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，根據(jù)△BEG∽△BAD得出，求出t=10，當(dāng)0≤t≤10時(shí)s=18；②當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，由△BFG∽△BCD，得出比例式即可求出t=12.5，當(dāng)10＜t≤12.5時(shí)，S=18-，③當(dāng)點(diǎn)E、F均在矩形ABCD外側(cè)，且EF與BD有交點(diǎn)時(shí)，由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD，推出，令MG=x，則KG=6-x，，求出x，進(jìn)一步求出t，當(dāng)12.5＜t≤時(shí)，S=，④如圖，當(dāng)EF與BD沒有交點(diǎn)時(shí)，即＜t≤20時(shí)，S=GM•GK，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．