Question

（2013•成都一模）若等腰梯形ABCD的上、下底之和為4，并且兩條對角線所夾銳角為60°，則該等腰梯形的面積為

4

3

或

4 3

3

（結(jié)果保留根號的形式）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意作圖，題中指出兩條對角線所夾銳角為60°而沒有指明是哪個角，所以做題時要分兩種情況進行分析，從而得到最后答案．

解答：解：已知梯形的上下底的和是4，設AB+CD=4，
對角線AC與BD交于點O，經(jīng)過點C作對角線BD的平行線CE交AB的延長線于點E．
①當∠DOC=60度時，∠ACE=60°，△ACE是等邊三角形，邊長AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

因而面積是

1

2

×4×2

3

=4

3

②當∠BOC=60度時，∠AOB=180°-60°=120°，
又∵BD∥CE，
∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底邊AE=4，
因而∠CEA=

180°-120°

2

=30°，作CF⊥AE，則AF=FE=2，CF=2×tan30°=

2 3

3

，
則△ACE的面積=

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

，而△ACE的面積等于梯形ABCD的面積．
因而等腰梯形的面積為4

3

或

4 3

3

．
故答案為：4

3

或

4 3

3

．

點評：此題考查等腰梯形的性質(zhì)及梯形中常見的輔助線的作法，通過這條輔助線可以把兩對角線的夾角的問題轉(zhuǎn)化為三角形的角的問題．