Question

（1998•大連）如圖，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G、H．過點(diǎn)F引⊙O的切線交BC于點(diǎn)N．
（1）求證：BN=EN；
（2）求證：4DH•HC=AB•BF；
（3）設(shè)∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα為根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）首先連接OF，易證得△BFN是等腰三角形，且BN=FN，又由切線長定理，證得FN=EN，即可證得BN=EN；
（2）首先過點(diǎn)O作OK⊥GH于點(diǎn)K，由垂徑定理可證得DG=HC，又由切割線定理，證得AD²=DH•DG，BE²=AB•BF，然后由BC=3AD，可得BE=2AD，繼而證得4DH•HC=AB•BF；
（3）首先連接OG，由tan∠ABC=2，可設(shè)BE=2a，則AE=4a，繼而求得EC與CG的長，根據(jù)正切函數(shù)與余切函數(shù)函數(shù)的定義，即可求得tanα、cotα的值，又由根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接OF，
∵FN是⊙O的切線，
∴OF⊥FN，
即∠OFN=90°，
∴∠BFN+∠AFO=90°，
∵AE是梯形的高，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B=90°，
∵OA=OF，
∴∠AFO=∠BAE，
∴∠B=∠BFN，
∴BN=FN，
∵AE為⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線，
∴FN=EN，
BN=EN；

（2）過點(diǎn)O作OK⊥GH于點(diǎn)K，
∴KH=KG，
∵AE為⊙O的直徑，且AE是梯形的高，
∴AD是⊙O得切線，且AD∥OK∥EC，
∴AD²=DH•DG，DK=CK，
∴DG=HC，
∴AD²=DH•HC；
∵BC是⊙O的切線，
∴BE²=AB•BF，
∵在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴EC=AD，
∵BC=3AD，
∴BE=2AD，
∴4AD²=AB•BF，
∴4DH•HC=AB•BF；

（3）連接OG，
∵在Rt△ABE中，tan∠ABC=

AE

BE

=2，
∴設(shè)BE=2a，則AE=4a，
∴CK=OG=

1

2

AE=2a，OK=EC=

1

2

BE=a，
在Rt△OKG中，KG=

OG2-OK2

=

3

a，
∴CG=CK-KG=（2-

3

）a，
在Rt△ECG中，tanα=

CG

EC

=2-

3

，cotα=

EC

CG

=2+

3

，
∴tanα+cotα=4，tanα•cotα=1，
∴以tanα、cotα為根的一元二次方程為：x²-4x+1=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、切割線定理、切線長定理、垂徑定理、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理、根與系數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．