Question

23、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）除了正方形外，寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：

矩形、直角梯形

；
（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請(qǐng)你畫(huà)出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA，OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以△ABC的邊AB，AC為邊，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，連接CE，BG相交于O點(diǎn)，P是線段DE上任意一點(diǎn)．求證：四邊形OBPE是勾股四邊形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一些特殊四邊形的性質(zhì)即可找出符合性質(zhì)的；
（2）根據(jù)題中的要求和勾股定理的性質(zhì)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）連接BE，首先證明△AEC≌△ABG，則∠AEC=∠ABG，∵∠AEC+∠CEB+∠EBA=90°，∴∠ABG+∠CEB+∠EBA=90°，∴OB²+OE²=BE²，然后證明OB²+OE²=BE²即可．

解答：解：（1）矩形、直角梯形；（2分）

（2）如圖，M點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，4）或（4，3）；（2分）

（3）連接BE（如圖）
∵四邊形ABDE和ACFG是正方形
∴AE=AB、AC=AG、∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAC=∠BAG
∴△AEC≌△ABG
∴∠AEC=∠ABG（1分）
∵∠AEC+∠CEB+∠EBA=90°
∴∠ABG+∠CEB+∠EBA=90°
∴∠BOE=90°（2分）
∴OB²+OE²=BE²
即四邊形OBPE是勾股四邊形．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)于勾股定理的應(yīng)用以及全等三角形的性質(zhì)．