Question

24、（1）如圖，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上一點，且∠FAE=∠EAD，求證：EF⊥AE．
（2）若將（1）中的“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”，其它條件不變，則是否仍有“EF⊥AE”的結論．若結論都成立，選取一種畫出圖形，并簡單說明理由，若不成立，也請畫圖說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長AE交BC的延長線于點G．  由四邊形ABCD是正方形，則AD∥CG，從而得出∠DAE=∠G，再根據(jù)∠FAE=∠EAD，可得AF=FG，能證明△AEF≌△GEF，則AE=EG，
即EF⊥AE． 
（2）例如：“任意平行四邊形”，如圖，延長AE交BC的延長線于G，由AD∥BC，及E是DC的中點，可得△ADE≌GCE，得AE=EG，同（1）一樣可得△AFG是等腰三角形，于是得FE⊥AG．

解答：解：（1）證明：延長AE交BC的延長線于點G．  …（1分）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥CG，∠D=∠BCD=∠DCG，
∴∠DAE=∠G
∵∠FAE=∠EAD，
∴∠FAE=∠G
∴AF=FG         …（3分）
∵E是DC的中點
∴DE=EC，
∵∠AED=∠GEC
∴△AEF≌△GEF （ASA）
∴AE=EG，
∴EF⊥AE．   …（5分）

（2）若將（1）中的“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”，其它條件不變，結論“EF⊥AE”仍然成立．
例如：“任意平行四邊形”…（6分）
如圖，延長AE交BC的延長線于G，
∵AD∥BC，E是DC的中點，
∴△ADE≌GCE，∴AE=EG，
同（1）一樣可得△AFG是等腰三角形，
∴FE⊥AG．…（9分）

點評：本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質，是一道基礎題，難度不大．