Question

【題目】如圖所示，是正三角形，線段和都垂直于平面，設(shè)，，且為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求平面與平面所成的較小二面角的大�。�

Answer 1

【答案】（1）見證明（2）見證明

【解析】

（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理即可證明；（2）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；（3）延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線于G′，連BG′，只要證明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE為所求的平面BDE與平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到．

（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接、.

∵，，

∴.

又，

∴.

∴四邊形為平行四邊形．

故.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，∴.

又是正三角形，∴.

∴平面.

又∵，∴平面.

∴平面平面.

∵，，∴.

∴平面，∴.

（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連.

由，知，為的中點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)，

∴.

又平面，，

∴平面.

∴為所求二面角的平面角．

在等腰直角三角形中，易求.

故所求二面角的大小為.