Question

【題目】已知圓，點(diǎn)在圓內(nèi)，在過點(diǎn)P所作的圓的所有弦中，弦長最小值為.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若點(diǎn)M為圓外的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M向圓C所作的兩條切線始終互相垂直，求點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）或4；（2）或.

【解析】

(1)由題點(diǎn)P與圓心的連線與弦垂直,即點(diǎn)P為弦的中點(diǎn)時(shí),過點(diǎn)P的弦長最短.再根據(jù)垂徑定理求解實(shí)數(shù)a的值即可.

(2)根據(jù)圓的性質(zhì)可得點(diǎn)M的軌跡為為圓心,以為半徑的圓,再根據(jù)(1)中的兩種情況求解即可.

（1）由圓

得到圓心坐標(biāo)為

點(diǎn)在圓內(nèi),

所以

解得,

由圓的弦的性質(zhì)可知,點(diǎn)P與圓心的連線與弦垂直,

即點(diǎn)P為弦的中點(diǎn)時(shí),過點(diǎn)P的弦長最短

在過點(diǎn)P所作的圓的所有弦中,弦長最小值為.

所以,

解得或4,（符合）.

（2）由（1）可知,或時(shí),因?yàn)檫^點(diǎn)M向圓C作的兩條切線總互相垂直,所以由圓的切線的性質(zhì)可知兩條切線和垂直于切線的兩條半徑構(gòu)成的四邊形為正方形,

且邊長為,對(duì)角線長為,

所以,點(diǎn)M的軌跡為為圓心,以為半徑的圓

所以點(diǎn)M的軌跡方程為

或.