Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=x²+ax-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b=-2時(shí)，由于對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f（x）的值總大于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）如果方程f（x）=0有一個(gè)負(fù)根和一個(gè)不大于1的正根，求實(shí)數(shù)a，b滿足的條件，并在右圖所給坐標(biāo)系中畫(huà)出點(diǎn)（a，b）所在的平面區(qū)域；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問(wèn)的條件下，若實(shí)數(shù)k滿足b=k（a+1）+3，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)b=-2時(shí)，f（x）=x²+ax+2，由于對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f（x）的值總大于零，從而其判別式小于0，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）利用方程f（x）=0有一個(gè)負(fù)根和一個(gè)不大于1的正根，可得

f(0)＜0 f(1)≥0

，從而可表示相應(yīng)區(qū)域．
（Ⅲ）依題意，a≠-1，則k=

b-3

a+1

表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（a，b）與（-1，3）連線的斜率，故可求．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)b=-2時(shí)，f（x）=x²+ax+2，由于對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f（x）的值總大于零，
∴△=a²-8＜0，
∴-2

2

＜a＜2

2

（Ⅱ）∵方程f（x）=0有一個(gè)負(fù)根和一個(gè)不大于1的正根，
∴

f(0)＜0 f(1)≥0

，
∴

b＞0 1+a-b≥0

（Ⅲ）依題意，a≠-1，則k=

b-3

a+1

表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（a，b）與（-1，3）連線的斜率，則k＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的討論問(wèn)題及平面區(qū)域的確定，同時(shí)考查利用線性規(guī)劃知識(shí)解決有關(guān)取值問(wèn)題．