Question

【題目】已知是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，若，則的最小值為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，設(shè)橢圓的方程為1（a1＞b1＞0），雙曲線(xiàn)的方程為1（a2＞0，b2＞0），利用橢圓、雙曲線(xiàn)的定義及離心率公式可得的表達(dá)式，通過(guò)基本不等式即得結(jié)論．

解：由題意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，

設(shè)橢圓的方程為1（a1＞b1＞0），

雙曲線(xiàn)的方程為1（a2＞0，b2＞0），

又∵|F1P|+|F2P|＝2a1，|PF2|﹣|F1P|＝2a2，

∴|F2P|+2c＝2a1，|F2P|﹣2c＝2a2，

兩式相減，可得：a1﹣a2＝2c，

則（18）

（218）＝8．

當(dāng)且僅當(dāng)，即有e2＝3時(shí)等號(hào)成立，

則的最小值為8，

故答案為：8．