Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分線(xiàn)，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）如果，AD=6，AE=6

2

，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由于BE是角平分線(xiàn)，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）先利用切割線(xiàn)定理可求出半徑OD，容易證出△AED∽△ABE；設(shè)DE=

2

x，BE=2x，利用相似比，結(jié)合勾股定理可求x，從而求出BC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OE；
∵⊙O是△BDE的外接圓，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直徑，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切線(xiàn)；
解：（2）∵AE是⊙O的切線(xiàn)，
AD=6，AE=6

2

，
∴AE²=AD•AB，
∴AB=

AE2

AD

=

(6 2 )2

6

=12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，
∴

DE

BE

=

AE

AB

2

2

；
設(shè)DE=

2

x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，
∴2x²+4x²=36，
解得x=±

6

（負(fù)的舍去），
∴BE=2

6

，DE=2

3

，BC=4

點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)的判定、切割線(xiàn)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．