Question

若不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）對于一切正數(shù)x、y恒成立，則實數(shù)a的最小值為（　　）

• A．2
• B．

  2 +1

  2

• C．

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：不等式整理為（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0對于一切正數(shù)x，y恒成立，換元，再分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）對于一切正數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0對于一切正數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0對于一切正數(shù)x，y恒成立，
令t=

x

y

，則有t＞0，所以（2a-1）t²-2t+a≥0對于一切t∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥

t2+2t

2t2+1

對于一切t∈（0，+∞）恒成立，
令f（t）=

t2+2t

2t2+1

，則f′（t）=

-2(t-1)(2t+1)

(2t2+1)2

∴t∈（0，1）時，f′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，t∈（1，+∞）時，f′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減
∴t=1時，函數(shù)取得最大值1
∴a≥1
∴實數(shù)a的最小值為1
故選D

點評：本題考查恒成立問題，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．