Question

點(diǎn)Q位于直線x=-3右側(cè)，且到點(diǎn)F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡C；
（2）直線l過點(diǎn)M（1，0）交曲線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，，又=（x，0），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求出此時直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于題設(shè)條件中知Q位于直線x=-3右側(cè)，且到點(diǎn)F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4，故可設(shè)出Q（x，y），利用距離之和等于建立方程，整理出動點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）先處理?xiàng)l件點(diǎn)P滿足，，又=（x，0），得出P是AB中點(diǎn)，E是線段AB垂直平分線與X軸交點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程為y=k（x-1），代入軌跡C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）找出l與C有兩個不同交點(diǎn)的條件，解出引入的參數(shù)k的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系解出AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)（用k表示），得出直線EP的方程，再研究E點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出x的取值范圍；
（3）不妨先假設(shè)可以，則須有2x_P=x_E+x_F，即：，解得：，這與（2）中的條件矛盾，即可說明這樣的直線不存在
解答：解：（1）Q（x，y），則|QF|+x+3=4（x＞-3），即：，化簡得：y²=-4x（-3＜x≤0）．
所以，動點(diǎn)Q的軌跡為拋物線y²=-4x位于直線x=-3右側(cè)的部分．…（4分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172719913100408/SYS201311031727199131004018_DA/7.png">，所以，P為AB中點(diǎn)；又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172719913100408/SYS201311031727199131004018_DA/8.png">，且=（x，0），所以，點(diǎn)E為線段AB垂直平分線與x軸交點(diǎn)．
由題可知：直線l與x軸不垂直，所以可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入軌跡C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）
設(shè)f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，要使得l與C有兩個不同交點(diǎn)，需且只需
解之得：．
由（*）式得：，所以，AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，．
所以，直線EP的方程為
令y=0得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172719913100408/SYS201311031727199131004018_DA/17.png">，所以，x_E∈（，-3）．…（10分）
（3）不可能．…（11分）
要使△PEF成為以EF為底的等腰三角形，需且只需2x_P=x_E+x_F，即：，解得：．
另一方面，要使直線l滿足（2）的條件，需要，所以，不可能使△PEF成為以EF為底的等腰三角形．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，由題設(shè)中所給的等量關(guān)系建立方程求出軌跡方程，本題第二小題的求解要注意位置關(guān)系與方程的轉(zhuǎn)化，由此得出兩曲線有兩個交點(diǎn)的條件，從而研究出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，本題中第三小題的求解用到了反證法的思想，先假設(shè)問題成立，由此出發(fā)推出矛盾，本題綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化靈活，涉及到的知識方法較多，解題時要注意體會總結(jié)知識的用法技巧與轉(zhuǎn)化技巧，本題易因?yàn)椴恢�怎么轉(zhuǎn)化而導(dǎo)致無法解題