Question

（08年崇文區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一）（14分）

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點(diǎn).

   （I）求AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值；

   （II）求證：AC₁∥平面B₁DC；

   （III）已知E是A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P為一動點(diǎn)，記PB₁=x. 點(diǎn)P從E出發(fā)，沿著三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路線運(yùn)動到點(diǎn)A，求這一過程中三棱錐P―BCC₁的體積表達(dá)式V（x）.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（I）∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面ABC，

       ∴B₁B⊥AB. 又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC­₁B_­1.…………2分

       連結(jié)BC₁，則∠AC₁B為AC₁與平面B₁BCC₁所成角.……3分

       依題設(shè)知，BC₁=2，在Rt△ABC₁中，

       …………5分

  

 

（II）如圖，連結(jié)DF，在△ABC₁中，∵D、F分別為AB、BC₁，

       的中點(diǎn)，

       ∴DF∥AC₁，又∵DF平面B₁DC，AC₁­平面B₁DC，

       ∴AC₁∥平面B₁DC.………………………………10分

   （III）PB₁=x，

       當(dāng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)到A₁點(diǎn)，即時，由（1）同理可證PB₁⊥面BB₁C₁C，

      

       當(dāng)點(diǎn)P從A₁點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)，即時，.

       ∴三棱錐P―BCC₁的體積表達(dá)式………………14分