Question

已知函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的極大值和極小值，若函數(shù)f（x）有三個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x³-

3

2

x²+1，得f（2）=3，且f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．由此能求出曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），令f（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．列表討論，能夠求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可得到函數(shù)f（x）有三個零點時a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x³-

3

2

x²+1，得f（2）=3，
且f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．
所以，曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y-3=6（x-2），
整理得6x-y-9=0；
（Ⅱ）函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，
f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）
令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
由于a＞0，故0＜

1

a

，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因此，函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值f（0），且f（0）=1，
函數(shù)f（x）在x=

1

a

處取得極小值f（

1

a

），且f（

1

a

）=1-

1

2a2

．
若函數(shù)f（x）有三個零點，
只需f（

1

a

）=1-

1

2a2

＜0即可，即得a2＜

1

2

．
又a＞0，因此0＜a＜

2

2

故所求a的取值范圍為{a|0＜a＜

2

2

}．

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的引入，為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來了方便．