Question

一個(gè)三棱錐的棱長(zhǎng)均為2，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（三棱錐的截面）的面積是（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

• D、

  3

Answer 1

分析：根據(jù)球內(nèi)接正四面體的性質(zhì)與圓的對(duì)稱(chēng)性，可得圖中的截面是三棱錐的一條棱與高線(xiàn)所在的平面，即這條棱和與其相對(duì)棱的中點(diǎn)構(gòu)成的三角形．由此作出圖形并利用題中的數(shù)據(jù)加以計(jì)算，可得此截面的面積．

解答：解：根據(jù)題意，過(guò)該球球心的一個(gè)截面經(jīng)過(guò)三棱錐的一條棱，且截面為等腰三角形．
因此該截面所在平面與球相交截得球大圓，即球心在此截面內(nèi)，
由球的對(duì)稱(chēng)性可得球心在該三棱錐的高上，
∴該截面是三棱錐的一條棱與高線(xiàn)所在的平面，即這條棱和與其相對(duì)棱的中點(diǎn)構(gòu)成的三角形，
因此設(shè)三棱錐D-ABC中，截面三角形為△BDF，其中F為棱AC的中點(diǎn)
∵三棱錐的棱長(zhǎng)均為2，∴DF=DF=

3

2

×2=

3

．
取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)EF，則EF是等腰△BDF底邊上的高，
∵EF=

BF2-BE2

=

2

，
∴△BDF的面積為S=

1

2

BD•EF=

1

2

×2×

2

=

2

．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出球內(nèi)接正四面體的一個(gè)截面的形狀，求該截面的面積．著重考查了正四面體的性質(zhì)、圓的對(duì)稱(chēng)性、勾股定理與三角形的面積計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．