Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿(mǎn)足直線(xiàn)與斜率之積為.試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）由題意，直線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)的方程為， ， ，聯(lián)立，得，根據(jù)韋達(dá)定理、斜率公式及直線(xiàn)與斜率之積為，可得，解得或，將以上結(jié)論代入直線(xiàn)方程即可得結(jié)果.

試題解析：（1）可知離心率，故有，

又有點(diǎn)在橢圓上，代入得，

解得， ，

故橢圓的方程為.

（2）由題意，直線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)的方程為

， ， ，

聯(lián)立得.

∴， .

∵直線(xiàn)與斜率之積為.

而點(diǎn)，∴.

∴.

化簡(jiǎn)得，

∴，

化簡(jiǎn)得，解得或，

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為直線(xiàn)與斜率之積為，過(guò)定點(diǎn).

代入判別式大于零中，解得.

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，過(guò)定點(diǎn)，不符合題意.

故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).