Question

假設某市2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房．預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%．另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年底：
（1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米？
（2）當年新建住房面積（以2004年為第一年）首次超過800萬平方米？（參考數據：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）設中低價房面積形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，求出前n項和S_n，使得S_n≥4750，解之即可求出所求；
（2）設新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，求出其通項公式b_n，使得b_n＞800，解之即可．

解答：解：（1）設中低價房面積形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，
其中a₁=250，d=50，則S_n=250n+

n(n-1)

2

×50=25n²+225n，
令25n²+225n≥4750，即n²+9n-190≥0，而n是正整數，∴n≥10．
答：到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米．…（6分）
（2）設新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，
其中b₁=400，q=1.08，則b_n=400•（1.08）^n-1
由題意可知400•（1.08）^n-1＞800
（1.08）^n-1＞2，兩邊取常用對數，解得n＞10.04．
答：到2014年底，該市當年新建住房面積首次超過800萬平方米．…（12分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及等差數列前n項和與等比數列的通項公式，同時考查了計算能力，屬于中檔題．