Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).

（1）證明:∥平面.

（2）設(shè)二面角為，，，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié). 根據(jù)四邊形為矩形，所以為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，利用三角形的中位線(xiàn)可得∥，再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明.

(2) 根據(jù)平面，四邊形為矩形，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，再求得平面DAE， 平面CAE的法向量，根據(jù)二面角為，利用，解得.，然后利用錐體體積公式求解.

(1)連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以為的中點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)，所以∥，

且平面，平面，所以∥平面.

(2) 因?yàn)?/span>平面，四邊形為矩形，所以兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，

所以，

設(shè)為平面的法向量，則，

可取 ，

又為平面的一個(gè)法向量，由題設(shè)知

即，解得.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，設(shè)為的中點(diǎn)，

則∥，且，⊥面，

故有三棱錐的高為，

三棱錐的體積

所以三棱錐的體積為.