Question

已知：F₁和F₂為雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，P（0，2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，
（1）求：雙曲線(xiàn)的離心率；
（2）若雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（4，6），求：雙曲線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析：（1）利用F₁，F(xiàn)₂，P（0，2b）構(gòu)成正三角形，可得幾何量之間的關(guān)系，即可求雙曲線(xiàn)的離心率；
（2）利用離心率化簡(jiǎn)雙曲線(xiàn)的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得雙曲線(xiàn)的方程．

解答：解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂，P（0，2b）構(gòu)成正三角形，∴2b=

3

c，
即有3c²=4（c²-a²），則e=

c

a

=2；
（2）∵雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

c

a

=2，∴c²=4a²，
∵c²=a²+b，∴b²=3a²，∴雙曲線(xiàn)方程變?yōu)?span id="cyaog2w" class="MathJye">

x2

a2

-

y2

3a2

=1，
∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（4，6），∴

16

a2

-

36

3a2

=1，
∴a²=4，則雙曲線(xiàn)方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．