Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命題
①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）是減函數(shù)；
③f（x）的最小值是lg2；
④f（x）在區(qū)間（-1，0）、（2，+∞）上是增函數(shù)；
⑤f（x）無(wú)最大值，也無(wú)最小值
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)即可．
②將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)，令t=x+

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．
③因?yàn)閠=x+

1

x

≥2（x＞0），再由偶函數(shù)，可知正確．
④當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)函數(shù)t=x+

1

x

是增函數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)判斷．
⑤用③來(lái)判斷．

解答：解：①定義域?yàn)镽，又滿足f（-x）=f（x），所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，正確．
②令t=x+

1

x

（x＞0），在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，不正確．
③t=x+

1

x

≥2，又是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值是lg2，正確．
④當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)函數(shù)t=x+

1

x

是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)知，f（x）是增函數(shù)，正確．
⑤由③知，不正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．