Question

用長為36m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為3：1，該長方體的最大體積是

81

4

m³．

Answer 1

分析：設(shè)出長、寬、高，由已知周長得出關(guān)于長、寬、高未知數(shù)的表達(dá)式，再表示出體積的表達(dá)式，使用

a+b+c

3

≥

3	abc

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）即可．

解答：解：設(shè)該長方體的寬、高分別為xm、ym，則長為3xm，于是4（3x+x+y）=36，∴2x+2x+y=9．（x＞0，y＞0）
又V_長方體=3x×x×y=3x²y=

3

4

×2x×2x×y≤

3

4

×(

2x+2x+y

3

)3=

3

4

×(

9

3

)3=

81

4

m³，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=

9

3

，即x=

3

2

，y=3時取等號．
∴該長方體的最大體積是

81

4

m³．
故答案為

81

4

．

點(diǎn)評：由已知周長得出關(guān)于長方體的長寬高的表達(dá)式并變形使用均值不等式是解題的關(guān)鍵．