Question

若存在過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=x³和y=ax2+

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4

x-9都相切，則a等于

 

．

Answer 1

分析：已知點(diǎn)（1，0）不知曲線(xiàn)y=x³上，容易求出過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=x³相切的切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線(xiàn)所在的方程；再利用切線(xiàn)與y=ax²+

15

4

x-9相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)方程聯(lián)系，得到二元一次方程，利用判別式為0，解出a的值．

解答：解：由y=x³?y'=3x²，設(shè)曲線(xiàn)y=x³上任意一點(diǎn)（x₀，x₀³）處的切線(xiàn)方程為y-x₀³=3x₀²（x-x₀），（1，0）代入方程得x₀=0或x0=

3

2

①當(dāng)x₀=0時(shí)，切線(xiàn)方程為y=0，則ax2+

15

4

x-9=0，△=(

15

4

)2-4a×(-9)=0?a=-

25

64

②當(dāng)x0=

3

2

時(shí)，切線(xiàn)方程為y=

27

4

x-

27

4

，由

y=ax2+ 15 4 x-9 y= 27 4 x- 27 4

?ax2-3x-

9

4

=0，△=32-4a(-

9

4

)=0?a=-1∴a=-

25

64

或a=-1．
故答案為：-

25

64

或-1

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，本題屬于中檔題，應(yīng)學(xué)會(huì)當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切時(shí)，考慮判別式為0這一等式．對(duì)于本題需提醒的是，對(duì)于類(lèi)似y=ax²+bx+c這種情況，應(yīng)考慮討論a是否為0這一情形．