Question

【題目】如圖幾何體ADM-BCN中， 是正方形， ， ， ， ， .

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）說明∥，利用直線與平面平行的判定定理即可證明∥平面；（Ⅱ）說明，結合，證明平面，推出，證明，即可證明面；（Ⅲ）法1：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出面的法向量，利用向量的數量積求解二面角的余弦值；法2：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示；求出面的法向量，利用向量的數量積求解二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）在正方形中， ；

又 ， ；

.

（Ⅱ）四邊形是正方形

， ， ，

，

，

.

（Ⅲ）法1：以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示；

由（Ⅱ）；

設面的法向量，

令，

由圖可知二面角為銳角

二面角的余弦值為.

法2：以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示；

由（Ⅱ）；

設面的法向量，

令，

由圖可知二面角為銳角

二面角的余弦值為.