Question

如圖，

ADB

為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B的直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，與OD所在直線交于E點(diǎn)，若

EM

=λ1

MB

，

EN

=λ2

NB

，求證：λ1+λ2為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|+|PB|的值不變且點(diǎn)Q在曲線C上，可以求得|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+12

=2

5

＞|AB|=4、曲線C是為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓進(jìn)而求出a，b，c得到曲線C的方程；
（Ⅱ）：先設(shè)M，N，E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），E（0，y₀），分析出過點(diǎn)B的直線l必與橢圓C相交；再根據(jù)

EM

=λ1

MB

，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程，同理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩個方程相結(jié)合即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|+|PB|的值不變、且點(diǎn)Q在曲線C上，
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+12

=2

5

＞|AB|=4、
∴曲線C是為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓
設(shè)其長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則2a=2

5

，∴a=

5

，c=2，b=1、
∴曲線C的方程為

x2

5

+y²=1（5分）
（Ⅱ）：設(shè)M，N，E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），E（0，y₀），
又易知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）、且點(diǎn)B在橢圓C內(nèi)，故過點(diǎn)B的直線l必與橢圓C相交、
∵

EM

=λ1

MB

，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁）、
∴x1=

2λ1

1+λ1

，y1=

y0

1+λ1

、（7分）
將M點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中得：

1

5

(

2λ1

1+λ1

)2+(

y0

1+λ1

)2=1，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0、（10分）
同理，由

EN

=λ2

NB

可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0、
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的兩個根，
∴λ₁+λ₂=-10、（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題以及向量知識的運(yùn)用．解決第二問的關(guān)鍵在于根據(jù)

EM

=λ1

MB

，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程，利用其整理后的結(jié)論來解題．