Question

已知函數y=f（x），x∈R滿足f（x）=af（x-1），a是不為0的實常數．
（1）若當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），求函數y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）若當0≤x＜1時，f（x）=x（1-x），求函數y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若當0＜x≤1時，f（x）=3^x，試研究函數y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是否可能是單調函數？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）、配成完全平方利用配方法求值域；
（2）、根據f（x）=af（x-1）逐步利用當0≤x＜1時，f（x）=x（1-x），
表示出1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，，…n≤x＜n+1上的解析式；
（3）、由第二問得到f_n（x）=aⁿ•3^x-n，根據a的正負分類分別研究單調性，我們知道每一段上為單調函數，
但整個定義域上不一定單調，若單調增（減），只需每一段的最大（小）值�。ù螅┯诘扔谙乱欢蔚淖钚。ù螅┲导纯桑�
解答：解：（1）∵，∴．
（2）當n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時．，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）．
（3）當n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）
∴f_n（x）=aⁿ•3^x-n
顯然f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z，
當a＞0 時是增函數，此時∴f_n（x）∈[aⁿ，3aⁿ]
若函數y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調增函數，則必有aⁿ⁺¹≥3aⁿ，解得a≥3；
當a＜0時，函數y=f（x）在區(qū)間[0，∞）上不是單調函數；
所以a≥3．
點評：本題考查了求函數值域，函數解析式，函數的單調性，用到了配方法求函數值域，
利用f（x）=af（x-1）恒等式逐步求每段上的解析式，
特別注意分段函數，當每一段上單調，整個定義域上不一定單調，要單調，要比較相鄰段上的最值大�。�