Question

【題目】橢圓： 的離心率為，過其右焦點(diǎn)與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)， .

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)， 不重合，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) . (2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由題意可得，結(jié)合題意可得圓的方程為，則以線段ST為直徑的圓恒過定點(diǎn).

試題解析：

（1）解： ，又，聯(lián)立解得： ，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：設(shè)直線AP的斜率為k，則直線AP的方程為，

聯(lián)立得.

，

整理得： ，故，

又， (分別為直線PA，PB的斜率)，

所以，

所以直線PB的方程為： ，

聯(lián)立得，

所以以ST為直徑的圓的方程為： ，

令，解得： ，

所以以線段ST為直徑的圓恒過定點(diǎn).