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    【解析圖片】設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立.
    (1)求f(x)的表達(dá)式;
    (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求實(shí)數(shù)n的取值的集合A.
    (3)若關(guān)于x的方程f(x)=nx-1的兩根為x1,x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|對(duì)任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
    (1)由x-1=x2-3x+3可得x=2,
    故由題可知1≤f(2)≤1,
    從而f(2)=1.
    因此
    a-b+c=0
    4a+2b+c=1
    ,
    故b=
    1
    3
    -a,c=
    1
    3
    -2a.由x-1≤f(x)
    得ax2-(
    2
    3
    +a)x+
    4
    3
    -2a≥0對(duì)x∈R恒成立,
    故△=(
    2
    3
    +a)2-4a(
    4
    3
    -2a)≤0,
    即9a2-4a+
    4
    9
    ≤0,
    解得a=
    2
    9

    故f(x)=
    2
    9
    x2+
    x
    9
    -
    1
    9

    (2)由
    2
    9
    x2+
    x
    9
    -
    1
    9
    ≤nx-1
    得2x2+(1-9n)x+8≤0,
    故△=(1-9n)2-64≥0,
    解得n≤-
    7
    9
    或n≥1,從而A=(-∞,-]
    7
    9
    ∪[1,+∞)
    (3)顯然|x1-x2|≥0,當(dāng)且僅當(dāng)n=-
    7
    9
    或n=1時(shí)取得等號(hào),
    故m2+tm+1≤0對(duì)t∈[-3,3]恒成立.記g(t)=m•t+(m2+1),
    則有
    g(-3)=m2-3m+1≤0
    g(3)=m2+3m+1≤0

    3-
    5
    2
    ≤m≤
    3+
    5
    2
    -3-
    5
    2
    ≤ m≤
    -3+
    5
    2
    ,
    故m∈∅,不存在這樣的實(shí)數(shù)m
    練習(xí)冊(cè)系列答案
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    科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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    (1)求f(x)的表達(dá)式;
    (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求實(shí)數(shù)n的取值的集合A.
    (3)若關(guān)于x的方程f(x)=nx-1的兩根為x1,x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|對(duì)任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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    (1)求f(x)的表達(dá)式;
    (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求實(shí)數(shù)n的取值的集合A.
    (3)若關(guān)于x的方程f(x)=nx-1的兩根為x1,x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|對(duì)任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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    (1)求f(x)的表達(dá)式;
    (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求實(shí)數(shù)n的取值的集合A.
    (3)若關(guān)于x的方程f(x)=nx-1的兩根為x1,x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|對(duì)任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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    (3)若關(guān)于x的方程f(x)=nx-1的兩根為x1,x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|對(duì)任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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