Question

已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O為原點(diǎn)．
（1）若

OC

∥

AB

，求tanα的值；
（2）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值．
（3）若|

OA

+

OC

|=

13

且α∈(0，π)，求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件求出向量

OC

和

AB

的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示以及商的關(guān)系，，求出tanα的值；
（2）根據(jù)條件求出向量

AC

和

BC

的坐標(biāo)，利用

a

•

b

=x1x2+y1y2=0列出方程，再由倍角的正弦公式和平方關(guān)系求出sin2α的值；
（3）求出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，再由|

OA

+

OC

|=

13

求出α的值，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出所求向量夾角的余弦值，根據(jù)夾角的范圍求出角的度數(shù)．

解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴

OC

=（cosα，sinα），

AB

=（-3，3），
∵

OC

∥

AB

，∴3cosα+3sinα=0，解得tanα=-1
（2）由題意得，

AC

=（coaα-3，sinα），

BC

=（coaα，sinα-3），
∵

AC

⊥

BC

，∴coaα（coaα-3）+sinα（sinα-3）=0，
1-3（sinα+coaα）=0，即sinα+coaα=

1

3

，
兩邊平方后得，sin2α=-

8

9

，
（3）由題意得，

OA

=（3，0），

OC

=（cosα，sinα），
∴

OA

+

OC

=（coaα+3，sinα），由|

OA

+

OC

|=

13

得，
（cosα+3）²+sin²α=13，即cosα=

1

2

，則α=

π

3

，
∴cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB || OC |

=

3sinα

3

=

3

2

，
則所求的向量的夾角是

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，主要利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算求解，注意向量夾角的范圍．