Question

（2012•朝陽區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點A（-

2

，0），B（

2

，0），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為-

1

2

．
（Ⅰ）求動點E的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的兩點M，N．若點P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動點E的坐標(biāo)為（x，y），由點A（-

2

，0），B（

2

，0），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為-

1

2

，知

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，由此能求出動點E的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），將y=k（x-1）代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由題設(shè)條件能推導(dǎo)出直線MN的垂直平分線的方程為y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2-1

)，由此能求出點P縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點E的坐標(biāo)為（x，y），
∵點A（-

2

，0），B（

2

，0），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為-

1

2

，
∴

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，
整理，得

x2

2

+y2=1，x≠±

2

，
∴動點E的軌跡C的方程為

x2

2

+y2=1，x≠±

2

．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，滿足條件的點P的縱坐標(biāo)為0，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
將y=k（x-1）代入

x2

2

+y2=1，并整理，得
（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=8k²+8＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
設(shè)MN的中點為Q，則xQ=

2k2

2k2+1

，yQ=k(xQ-1)=-

k

2k2+1

，
∴Q（

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

），
由題意知k≠0，
又直線MN的垂直平分線的方程為y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2-1

)，
令x=0，得y_P=

k

2k2+1

=

1

2k+ 1 k

，
當(dāng)k＞0時，∵2k+

1

k

≥2

2

，∴0＜yP≤

1

2 2

=

2

4

；
當(dāng)k＜0時，因為2k+

1

k

≤-2

2

，所以0＞y_P≥-

1

2 2

=-

2

4

．
綜上所述，點P縱坐標(biāo)的取值范圍是[-

2

4

，

2

4

]．

點評：本題考查動點的軌跡方程的求法，考查點的縱坐標(biāo)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與橢圓位置的綜合運用．