Question

【題目】已知橢圓，，，，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上，拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

（1）求橢圓、拋物線的方程；

（2）過橢圓右頂點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，射線、分別交橢圓于點(diǎn)、.

（i）證明：為定值；

（ii）記、的面積分別為、，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）（i）證明見解析；（ii）.

【解析】

（1）先判斷在橢圓上，代入求得，得到橢圓的方程，再根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，求出，得到拋物線的方程；

（2）（i）設(shè)，與的方程聯(lián)立化簡(jiǎn)，用坐標(biāo)表示，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可證得為定值；

（ii）設(shè)直線，與聯(lián)立，可求出的縱坐標(biāo)，同理，可求出的縱坐標(biāo)，再將表示出來并化簡(jiǎn)求最值.

（1）關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，在上，

若在上，則，不在上，在上，

，，又，,

即橢圓，拋物線.

（2）（i）設(shè)，代入中，得

，，

即為定值.

（ii）設(shè)直線，將直線代入中得：

，

同理直線，得，

則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.