Question

已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為

2

2

的橢圓，其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a=

2

，e=

2

2

，所以c=1，由此能得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）因?yàn)镻（1，1），所以kPF=

1

2

，所以k_OQ=-2，所以直線OQ的方程為y=-2x．再由橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，能夠證明直線PQ與圓O相切．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓O保持相切．設(shè)P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），則y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，所以直線OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x，由此知直線PQ始終與圓O相切．

解答：解：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a=

2

，e=

2

2

，所以c=1（2分）
則b=1，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（2）因?yàn)镻（1，1），所以kPF=

1

2

，
所以k_OQ=-2，所以直線OQ的方程為y=-2x（6分）
又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，所以點(diǎn)Q（-2，4）（7分）
所以k_PQ=-1，又k_OP=1，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，
故直線PQ與圓O相切（9分）
（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓O保持相切（10分）
證明：設(shè)P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），則y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
所以直線OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x（12分）
所以點(diǎn)Q（-2，

2x0+2

y0

）（13分）
所以kPQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

，
又kOP=

y0

x0

，
所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓O相切（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．