Question

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

2x

x+2

，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為p，證明：p＜(

9

10

)19＜

1

e2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證明當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函數(shù)的單調(diào)性，只須證明f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)即可．先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減即可得到答案．
（Ⅱ）先計(jì)算概率P=

A 100 20

10020

，再證明

A 100 20

10020

100×99×…×81

10020

(

9

10

)19

100

90

(

90

100

)20，即證明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后證明(

9

10

)19＜e^-2，即證(

10

9

)19＞e²，即證19ln

10

9

＞2，即證ln

10

9

2

19

，而這個(gè)結(jié)論由（1）所得結(jié)論可得

解答：（Ⅰ）證明：∵f′（x）=

1

1+x

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+2) 2(x+1)

，
∴當(dāng)x＞-1，時(shí)f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0．
即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，連續(xù)抽取20次，則抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為P=

A 20 100

10020

，要證P＜(

9

10

)19＜

1

e2

．
先證：P=

A 20 100

10020

＜(

9

10

)19，即證

100×99×…×81

10020

＜

100

90

(

90

100

)20
即證99×98×…×81＜（90）¹⁹
而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜(

9

10

)19
再證：(

9

10

)19＜e^-2，即證(

10

9

)19＞e²，即證19ln

10

9

＞2，即證ln

10

9

＞

2

19

由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
令x=

1

9

，則ln（1+

1

9

）-

2• 1 9

2+ 1 9

=ln（1+

1

9

）-

2

19

＞0，即ln

10

9

＞

2

19

綜上有：P＜(

9

10

)19＜

1

e2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等，考查運(yùn)算求解能力，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識(shí)．通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題，考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．