Question

一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得零分”．某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．試求出該考生：
（Ⅰ）得60分的概率；（Ⅱ）得多少分的可能性最大？
（Ⅲ）所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望（用小數(shù)表示，精確到0．k^s*5#u01）．
（文科）投擲一個(gè)質(zhì)地均勻，每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面中，有兩個(gè)面的數(shù)字是0，兩個(gè)面的數(shù)字是2，兩個(gè)面的數(shù)字是4．將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．
（Ⅰ）求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x²+y²≤10上的概率；
（Ⅱ）若以落在區(qū)域C上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”兩道題之一選對(duì)的為事件A，“有一道題可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤”選對(duì)的為事件B，“有一道題不理解題意”選對(duì)的為事件C，P(A)=

1

2

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

，由此能求出得60分的概率．
（Ⅱ）通過(guò)計(jì)算知得45分或50分的可能性最大．
（Ⅲ）Eξ=40×

6

48

+(45+50)×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

≈47.92．
（文）（Ⅰ）點(diǎn)P的坐標(biāo)有9種，其中落在區(qū)域C：x²+y²≤10上的點(diǎn)P的坐標(biāo)有4種．由此能求出點(diǎn)P落在區(qū)域C：x²+y²≤10上的概率．
（Ⅱ）區(qū)域M為一邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，區(qū)域C的面積為10π，由此能求出豆子落在區(qū)域M上的概率．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”兩道題之一選對(duì)的為事件A，“有一道題可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤”選對(duì)的為事件B，“有一道題不理解題意”選對(duì)的為事件C，∴P(A)=

1

2

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

，∴得60分的概率為P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

．（4分）
（Ⅱ）得45分或50分的可能性最大．
得40分的概率為：P=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；
得45分的概率為：P=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；
得50分的概率為：P=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

17

48

；
得55分的概率為：P=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

=

7

48

．（8分）
（Ⅲ）Eξ=40×

6

48

+(45+50)×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

≈47.92．（12分）
（文答案）解：（Ⅰ）點(diǎn)P的坐標(biāo)有：
（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4），共9種，其中落在區(qū)域C：x²+y²≤10上的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：（0，0），（0，2），（2，0），（2，2），共4種．故點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2+y2≤10上的概率為

4

9

．（6分）
（Ⅱ）區(qū)域M為一邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，區(qū)域C的面積為10π，則豆子落在區(qū)域M上的概率為

2

5π

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意乘法公式的靈活運(yùn)用．