Question

設(shè)x，y∈R，

i

，

j

、為直角坐標系內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

且

a

²+

b

²=16．
（1）求點M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）過定點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)

OP

=

OA

+

OB

，是否存在直線l使四邊形OAPB為正方形？若存在，求出l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，即可求得點M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入圓的方程，結(jié)合韋達定理及向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

且

a

²+

b

²=16，

i

，

j

為直角坐標系內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，
∴x²+（y+2）²+x²+（y-2）²=16
∴點M（x，y ）的軌跡C的方程是x²+y²=4；
（2）假設(shè)存在直線l，設(shè)方程為y=kx+3，代入x²+y²=4可得（1+k²）x²+6kx+5=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6k

1+k2

，x₁•x₂=

5

1+k2

由題意，

OA

⊥

OB

，則x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴x₁•x₂+k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=0
∴

5

1+k2

+k2•

5

1+k2

+3k•（-

6k

1+k2

）+9=0
∴k=±

14

2

∴存在l且l的方程為y=±

14

2

x+3．

點評：本題考查軌跡方程，考查數(shù)量積公式的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．