Question

如圖，在正三棱錐P—ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若截面AMN垂直于側(cè)面PBC，則此正三棱錐的側(cè)面積與底面積的比為(　　)

A.1∶2                  B.2∶3                  C.3∶2                  D.6∶1

Answer 1

思路解析：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、PE，并且PE∩MN=F，連結(jié)AF，則AE⊥BC，PE⊥BC.從而∠AEP為二面角P-BC-A的平面角，令∠AEP=θ.

∵M、N分別為PB和PC的中點(diǎn)，∴MN∥BC，且F是PE的中點(diǎn).

又BC⊥PE，∴MN⊥PE.

∵平面AMN⊥平面PBC，MN為交線，

∴PE⊥平面AMN.

又AF平面AMN，∴AF⊥PE.

而F是PE的中點(diǎn)，∴△PAE是等腰三角形，且AP=AE.

令AB=2a,則PB=PA=AE=AB=a.

在Rt△PBE中，∵PB=a，BE=BC=a，

∴PE=

在Rt△AFE中，cosθ=cos∠AEP=

又S_側(cè)=

因此正三棱錐的側(cè)面積與底面積的比為∶1.

答案：D