Question

已知與向量

e

=（1，

3

）平行的直線l₁過點(diǎn)A（0，-2

3

），橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心關(guān)于直線l₁的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=

a2

c

（c²=a²-b²）上，且直線l₁過橢圓C的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-2，0）的直線l₂交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若∠MON≠

π

2

，且（

OM

•

ON

）•sin∠MON=

4 6

3

，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l₁₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意得直線l₁的方程和過原點(diǎn)垂直于l₁的直線方程，兩個(gè)方程聯(lián)立求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線l₁的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=

a2

c

上，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)直線l₁求得橢圓的焦點(diǎn)，求得c，則a和b可求得，進(jìn)而得到橢圓的方程．
（2）當(dāng)直線l₁的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l₁的方程代入橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出|MN|，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l₂的距離根據(jù)（

OM

•

ON

）•sin∠MON=

4 6

3

求得三角形MON的面積，把|MN|和d代入求得k；當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，直線l₂的方程為x=-2，綜合答案可得．

解答：解（Ⅰ）由題意得直線l₁的方程為y=

3

x-2

3

，①
過原點(diǎn)垂直于l₁的直線方程為y=-

3

3

x②
解①②得：x=

3

2

因?yàn)闄E圓中心O（0，0）關(guān)于直線l₁的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=

a2

c

上，
∴

a2

c

=3
又∵直線l₁過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2
故橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1③
（II）當(dāng)直線l₁的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l₁的方程為y=k（x+2），代入③并整理得：
（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則x₁+x₂=-

12k2

3k 2+1

，x₁x₂=

12k2-6

3k 2+1

∴|MN|=

1+k．2

|x₁-x₂|=

1+k．2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 6 (1+k2)

3k 2+1

坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l₂的距離d=

|2k|

1+k2

．
∵（

OM

•

ON

）•sin∠MON=

4 6

3

，即S_△MON=

2 6

3

而S_△MON=

1

2

||MN|d
∴|NM|d=

4 6

3

，即

2 6 (1+k2)

3k 2+1

|2k|

1+k2

=

4 6

3

解得k=±

3

3

，此時(shí)直線l₂的方程為y=±

3

3

（x+2）
當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，直線l₂的方程為x=-2
此時(shí)點(diǎn)M（-2，

6

3

），N（-2，-

6

3

），滿足S_△MON=

2 6

3

，
綜上得，直線l₂的方程為x=-2或±

3

y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．在設(shè)直線方程的時(shí)候，一定要考慮斜率不存在時(shí)的情況，以免答案不全面．