Question

【題目】已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿(mǎn)足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．

（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若（為常數(shù)，），．求證：對(duì)任意的恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.

(2)取,并結(jié)合通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡(jiǎn)可得,代入化簡(jiǎn)即可知,再證明也成立即可.

(3)由(2) 當(dāng)時(shí),,代入所給的條件化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.

解：

．

是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,

則,

則由,

及得,

當(dāng)時(shí),,

兩式作差,可得．

當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足上式,

則；

證明：,

當(dāng)時(shí),,

兩式相減得：

即．

即．

又,

,

即．

當(dāng)時(shí),,

兩式相減得：．

數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為的等差數(shù)列．

又當(dāng)時(shí),由得,

當(dāng)時(shí),由,得．

故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；

證明：由,當(dāng)時(shí),

,即,

,

,即,

即

,

當(dāng)時(shí),即．

故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列,

當(dāng)時(shí),．

．

另外,由已知條件可得,

又,

,

因而．

令,

則．

故對(duì)任意的恒成立．