Question

設(shè)P是不等式組

x，y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量

m

=(1，1)，

n

=(2，1)，若

OP

=λ

m

+μ

n

，則2λ+μ的最大值為

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，得到

x=λ+2μ y=λ+μ

，由此代入題中的不等式組，可得關(guān)于λ、μ的不等式組．作出不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的四邊形OABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2λ+μ對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)λ=3，μ=-1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值為5．

解答：解：∵向量

m

=(1，1)，

n

=(2，1)，且

OP

=λ

m

+μ

n

，
∴P（x，y）滿足

x=λ+2μ y=λ+μ

，代入不等式組

x，y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

，得

λ+2μ≥0 λ+μ≥0 μ≥-1 2λ+3μ≤3

作出不等式組

λ+2μ≥0 λ+μ≥0 μ≥-1 2λ+3μ≤3

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的四邊形OABC及其內(nèi)部，
其中A（-3，3），B（3，-1），C（2，-1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)
設(shè)z=F（λ，μ）=2λ+μ，將直線l：z=2λ+μ進(jìn)行平移，
可得當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z_最大值=F（3，-1）=2×3+（-1）=5
故答案為：5

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)2λ+μ的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．