Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1；
②當(dāng)x＞1時(shí)，有1nx+

1

lnx

≥2；
③函數(shù)f(x)=

lnx-x2+2x，(x＞0) 2x+1，(x≤0)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)；
④設(shè)有五個(gè)函數(shù)y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上是增函數(shù)的有2個(gè)．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①原命題是特稱命題，其否定為全稱命題，將“存在”改為“任意的”，“＞“改為“≤”即可得答案；
②利用均值不等式進(jìn)行判斷，注意取等號(hào)時(shí)的情況，從而進(jìn)行判斷；
③求分段函數(shù)的零點(diǎn)，x≤0時(shí)的情況比較好判斷，只有一個(gè)，x＞0的情況，可以利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)定理進(jìn)行判斷；
④根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x），和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷增減性；

解答：解：①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＞1，故①錯(cuò)誤；
②∵當(dāng)x＞1時(shí)，有1nx+

1

1nx

≥2

lnx× 1 lnx

=2，當(dāng)lnx=

1

lnx

即x=e時(shí)等號(hào)成立，故②正確；
③當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2x+1=0，得x=-

1

2

，有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx-x²+2x，求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-2x+2=

1-2x2+2x

x

，因?yàn)閥=-2x²+2x+1開口向下，△=4-4（-2）1=12，令f′（x）=0，解得x=

1+ 3

2

或x=

1- 3

2

，
若f′（x）＞0，可得0＜x＜

1+ 3

2

，f（x）為增函數(shù)，
若f′（x）＜0，可得x＞

1+ 3

2

，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）＜0，f（

1+ 3

2

）＞0，f（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；故③正確；
④有五個(gè)函數(shù)y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，
根據(jù)f（-x）=f（x），
可知y=x²，y=2^|x|為偶函數(shù)，
且y=x²，y=2^|x|在（0，+∞）上為增函數(shù)，
故④正確；
故選C；

點(diǎn)評(píng)：此題考查否命題的定義均值不等式的應(yīng)用以及偶函數(shù)的性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，是一道綜合題；