Question

若函數(shù)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

，則當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，有（　　）

A．g（1）＜f（x₁）＜f（x₂）

B．g（1）＜f（x₂）＜f（x₁）

C．f（x₁）＜g（1）＜f（x₂）

D．f（x₁）＜f（x₂）＜g（1）

Answer 1

分析：由令x=-x代入f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

，再由函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)，聯(lián)立方程求出f（x），g（x），再求出
g（1），利用基本不等式求出f（x）的范圍，再由f（x）的單調(diào)性比較三者的大小關(guān)系．

解答：解：∵f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

   ①，
令x=-x代入①得：f(-x)-g(-x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

，
∵f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，
∴-f(x)-g(x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

   ②，
由①②得，f(x)=x+

1

x

-

1

4

，g(x)=-x2-

1

2

，
則g(1)=-1-

1

2

=-

3

2

，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x+

1

x

-

1

4

≥2-

1

4

=

7

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，且在（1，+∞）上遞增，
∴1＜x₁＜x₂時(shí)，有f（x₂）＞f（x₁）＞f（1）=

7

4

，
則g（1）＜f（x₁）＜f（x₂），
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性綜合應(yīng)用，以及方程思想求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．