Question

點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程
（2）過定點D（m，0）（m＞0）做直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D關(guān)于坐標原點的對稱點，求證：∠AED=∠BED．
（3）在（2）中，是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)則可得，，，由代入整理可求
（2）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證K_AE=-K_BE即可
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線，根據(jù)垂徑定理得性質(zhì)可知，要使正弦長為定值，則只要圓心到直線的距離為定值即可
解答：解：（1）設(shè)
則可得，，
∴
所以：y²=4x
（2）當AB垂直x軸時，A、B關(guān)于x軸對稱，所以∠AED=∠BED
當AB存在斜率時，設(shè)直線AB：y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）


所以k_AE=-k_BE
所以∠AED=∠BED
（3）假設(shè)存在垂直x軸的直線x=n，弦長為d
則
當m=1時不存在
當m＞0且m≠1時，存在直線x=m-1
點評：本題以向量得數(shù)量積得坐標表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解．屬于綜合試題．