Question

設(shè)離心率的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點(diǎn)，以PF₁為直徑的圓經(jīng)過橢圓M短軸端點(diǎn)，且該圓和直線相切，過點(diǎn)P的直線與橢圓M相交于相異兩點(diǎn)A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線BC交x軸與點(diǎn)Q，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)以|PF₁|為直徑的圓經(jīng)過橢圓M短軸端點(diǎn)N，則|NF₁|=a，由可得a=2c，由此可得，再由|PF₁|的長可判斷F₂為圓的圓心，根據(jù)圓與直線相切，可解得c值，從而可求得a，b；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），易知點(diǎn)B（x₁，-y₁），設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由△＞0得k²范圍，由點(diǎn)斜式寫出直線BC的方程，令y=0，由韋達(dá)定理可得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算及韋達(dá)定理可把表示為k的函數(shù)，由k²的范圍即可求得的范圍；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)以|PF₁|為直徑的圓經(jīng)過橢圓M短軸端點(diǎn)N，
∴|NF₁|=a，∵，∴a=2c，
∴，|PF₁|=2a．
∴F₂（c，0）是以|PF₁|為直徑的圓的圓心，
∵該圓和直線相切，
∴，解得，
∴橢圓M的方程為：．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點(diǎn)B（x₁，-y₁），
設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），
聯(lián)立方程組，消掉y，化簡整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0，得．
則．
直線BC的方程為：，
令y=0，則．
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為．

=
=
=．
∵，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查函數(shù)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大，對(duì)能力要求較高．