Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，又f（1）=0，則滿足（x-1）f（lnx）＞0的x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：畫出函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖，故由（x-1）f（lnx）＞0 可得①

x＞1 f(lnx)＞0

或②

x＜1 f(lnx)＜0

．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，且f（-1）=0．
函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖如圖所示：
故由（x-1）f（lnx）＞0 可得，
①

x＞1 f(lnx)＞0

或 ②

x＜1 f(lnx)＜0

．
由①可得 

x＞1 lnx＞1 ，或lnx＜-1

，
解得 x＞e．
由②可得

x＜1 0＜lnx＜1 ，或-1＜lnx＜0

，
解得

1

e

＜x＜1．
綜上可得，（x-1）f（lnx）＞0的解集為(

1

e

，1)∪(e，+∞)，
故答案為：(

1

e

，1)∪(e，+∞)．

點評：本題主要考查求函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．