Question

【題目】已知三棱錐的展開圖如圖二，其中四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（1）證明：平面平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，由邊長關(guān)系得，從而可得平面，即可證明平面平面；

（2）由（1）問可知平面，所以以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面和平面的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角的余弦值。

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，

由題意，得，，．

因?yàn)樵?/span>中，，為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)樵?/span>中，，，，

，所以

因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，

平面，所以平面平面

（2）由（1）問可知平面，所以，，，于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為，則

由得：．令，得，，即

．

設(shè)平面的法向量為，由得：

，令，得，，即

．由圖可知，二面角的余弦值為．